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牛吃草问题的巧解方法(含例题解析)

发布者:益学教育 时间:2018-07-03

  有这样的问题.如:牧场上有一片匀速生长的草地,可供27头牛吃6周,或供23头牛吃9周.那么它可供21头牛吃几周?这类问题称为“牛吃草”问题。

  还有比如地球能供多少人生存问题等等。

  解答这类问题,困难在于草的总量在变,它每天,每周都在均匀地生长,时间愈长,草的总量越多.草的总量是由两部分组成的:(1)某个时间期限前草场上原有的草量;(2)这个时间期限后草场每天(周)生长而新增的草量.因此,必须设法找出这两个量来。

  下面就用开头的题目为例进行分析.(见下图)

  

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  从上面的线段图可以看出23头牛9周的总草量比27头牛6周的总草量多,多出部分相当于3周新生长的草量.为了求出一周新生长的草量,就要进行转化.27头牛6周吃草量相当于27×6=162头牛一周吃草量(或一头牛吃162周).23头牛9周吃草量相当于23×9=207头牛一周吃草量(或一头牛吃207周).这样一来可以认为每周新生长的草量相当于(207-162)÷(9-6)=15头牛一周的吃草量。

  需要解决的第二个问题是牧场上原有草量是多少?用27头牛6周的总吃草量减去6周新生长的草量(即15×6=90头牛吃一周的草量)即为牧场原有草量。

  所以牧场上原有草量为27×6-15×6=72头牛一周的吃草量(或者为23×9-15×9=72)。

  牧场上的草21头牛几周才能吃完呢?解决这个问题相当于把21头牛分成两部分.一部分看成专吃牧场上原有的草.另一部分看成专吃新生长的草.但是新生的草只能维持15头牛的吃草量,且始终可保持平衡(前面已分析过每周新生的草恰够15头牛吃一周).故分出15头牛吃新生长的草,另一部分21-15=6(头)牛去吃原有的草.所以牧场上的草够吃72÷6=12(周),也就是这个牧场上的草够21头牛吃12周。

  

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  例2 一只船发现漏水时,已经进了一些水,水匀速进入船内.如果10人淘水,3小时淘完;如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完,要安排多少人淘水?

  分析 与解答这类问题,都有它共同的特点,即总水量随漏水的延长而增加.所以总水量是个变量.而单位时间内漏进船的水的增长量是不变的.船内原有的水量(即发现船漏水时船内已有的水量)也是不变的量.对于这个问题我们换一个角度进行分析。

  如果设每个人每小时的淘水量为“1个单位”.则船内原有水量与3小时内漏水总量之和等于每人每小时淘水量×时间×人数,即1×3×10=30.

  船内原有水量与8小时漏水量之和为1×5×8=40。

  每小时的漏水量等于8小时与3小时总水量之差÷时间差,即(40-30)÷(8-3)=2(即每小时漏进水量为2个单位,相当于每小时2人的淘水量)。

  船内原有的水量等于10人3小时淘出的总水量-3小时漏进水量.3小时漏进水量相当于3×2=6人1小时淘水量.所以船内原有水量为30-(2×3)=24。

  如果这些水(24个单位)要2小时淘完,则需24÷2=12(人),但与此同时,每小时的漏进水量又要安排2人淘出,因此共需12+2=14(人)。

  从以上这两个例题看出,不管从哪一个角度来分析问题,都必须求出原有的量及单位时间内增加的量,这两个量是不变的量.有了这两个量,问题就容易解决了。

  例3 12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草,21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草.多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草(每公亩牧场上原有草量相等,且每公亩牧场上每天生长草量相等)?

  

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  分析:

  解题的关键在于求出一公亩一天新生长的草量可供几头牛吃一天,一公亩原有的草量可供几头牛吃一天。

  12头牛28天吃完10公亩牧场上的牧草.相当于一公亩原来的牧草加上28天新生长的草可供33.6头牛吃一天(12×28÷10=33.6)。

  21头牛63天吃完30公亩牧场上的牧草,相当于一公亩原有的草加上63天新生长的草可供44.1头牛吃一天(63×21÷30=44.l)。

  一公亩一天新生长的牧草可供0.3头牛吃一天,即:

  (44.l-33.6)÷(63-28)=0.3(头)。

  一公亩原有的牧草可供25.2头牛吃一天,即:

  33.6-0.3×28=25.2(头)。

  72公亩原有牧草可供14.4头牛吃126天,即:

  72×25.2÷126=14.4(头)。

  72公亩每天新生长的草量可供21.6头牛吃一天,即:

  72×0.3=21.6(头)。

  所以72公亩牧场上的牧草共可以供36(=14.4+21.6)头牛吃126天。

  问题得解。

  解:

  一公亩一天新生长草量可供多少头牛吃一天?

  (63×21÷30-12×28÷10)÷(63-28)=0.3(头)。

  一公亩原有牧草可供多少头牛吃一天?

  12×28÷10-0.3×28=25.2(头)。

  72公亩的牧草可供多少头牛吃126天?

  72×25.2÷126+72×0.3=36(头)。

  答:72公亩的牧草可供36头牛吃126天。



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